Macam-Macam Bilangan dalam Matematika

BILANGAN KOMPLEKS

Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi. Dimana a dan badalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut jugabagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.

Contoh :

{3 + 2i}

BILANGAN IMAJINER

Bilangan imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i2 = −1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara definisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik :

   x² + 1 = 0

atau secara ekuivalen

   x² = -1

atau juga sering dituliskan sebagai

   x = √-1

BILANGAN REAL

Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol.

Contoh :

{½, ⅓, ⅔, ⅛, ⅜, ⅝, ⅞, ...}

BILANGAN IRRASIONAL

Bilangan irrasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

π          =          3,141592653358……..

√2        =          1,4142135623……..

e          =          2,71828281284590…….

BILANGAN BULAT

Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol dan bilangan negatif.

Contoh :

{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

BILANGAN PECAHAN

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimanaa, b bilangan bulat dan b ≠ 0.

a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

BILANGAN CACAH

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol.

Contoh :

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

BILANGAN NEGATIF

Bilangan negatif (integer negatif) adalah bilangan yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa dikatakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada garis bilangan.

Contoh :

{-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, ...}

BILANGAN ASLI

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif).

Contoh :

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

BILANGAN PRIMA

Bilangan prima adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri.

Contoh :

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...}

BILANGAN KOMPOSIT

Bilangan komposit adalah bilangan asli lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima. Bilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga disebut bilangan yang mempunyai faktor lebih dari dua.

Contoh :

{4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, …}

Macam-macam Himpunan dalam Matematika

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

1. Himpunan kosong (himpunan hampa)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Sering dinyatakan sebagai Æ atau { }.

Contoh :
   ● Himpunan semua bilangan riil x yang memenuhi x² + 3 = 0  atau

      H = {x | x = bilangan riil, x² + 3 = 0}

      ditulis H = Æ

2. Himpunan Semesta

Himpunan semesta adalah himpunan yang anggota-anggotanya terdiri atas semua obyek yang sedang dibicarakan. Biasanya ditulis S atau U (singkatan dari Universal).

Contoh :

   ● S = { 5, 7, -4, 9}, A = {7, 9}

      Dikatakan

      S merupakan semesta dari himpunan A.

3. Himpunan berhingga dan himpunan tak berhingga (infinit)

Himpunan dikatakan berhingga jika ia mempunyai anggota-anggota yang banyaknya berhingga. Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga.

Contoh :

   ● H = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif } = {1, 2, 3, ……}

      H disebut himpunan tak berhingga.

   ● K = { Ani, Joko, Tuti}

      K disebut himpunan berhingga.

4. Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B ditulis “A Í B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B. 

Dinyatakan dengan simbol : A Í B jika dan hanya jika ("x) xÎA ® xÎB.

Contoh :

   ● Misal A = {x / x = bilangan bulat positif } dan B = {x / x = bilangan riil} 

      maka A Í B

      Sebab setiap elemen dalam A merupakan elemen dalam B, tetapi tidak sebaliknya.

   ● Misal : A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2, 3, 4, 7, 9}

      Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B

5. Kesamaan Himpunan

Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis “ A = B ”, jika dan hanya jika A Í B dan B Í A. 

Dinyatakan dengan symbol 

A = B jika dan hanya jika A Í B dan B Í A

A = B « ("x, x Î A ® x Î B) Ù ("x, x Î B ® x Î A)

Contoh :

   ● Misalkan A = {a, b, c, d}, B = { c, b, a, d}, dan C={ a,b, b, a, c, d}

      A, B dan C adalah himpunan – himpunan yang sama 

      Yaitu A = B = C

6. Himpunan Berpotongan

Dua himpunan A dan B dikatakan berpotongan ditulis “A µ B” jika dan

hanya jika ada anggota A yang menjadi anggota B.

Contoh :

   ● Misalkan himpunan A = {3, 4, 5, 6} dan B = {2, 5, 8}

      A dan B adalah dua himpunan yang saling berpotongan.

7. Himpunan Lepas

Dua himpunan A dan B dikatakan lepas ditulis “A // B” jika dan hanya jika

kedua himpunan tersebut tidak kosong dan tidak mempunyai anggota yang sama.

Contoh :

   ● Misalnya A = {x /x = bilangan bulat positif}

                     B = {x /x = bilangan bulat negatif}

      Maka A dan B merupakan dua himpunan yang saling lepas.

Himpunan Matematika dan Cara Penulisannya

Himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Kumpulan ini dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan dapat berupa benda, orang, bilangan-bilangan atau huruf. Obyek-obyek ini disebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefisnisikan secara jelas, sehingga dapat dibedakan obyek mana yang menjadi anggota dan obyek mana yang bukan menjadi anggota.

Contoh :

• Himpunan semua huruf hidup dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
• Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi x² - 3x - 4 = 0
• Himpunan semua bilangan genap, yaitu 0, ± 2, ± 6, ± 8, . . . . .
• Himpunan semua bilangan riel x yang memenuhi x² + 3 = 0

Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x Î A. Dan jika x bukan

anggota dari himpunan A, maka ditulis x Ï A.

Cara Penulisan Himpunan

Di dalam konsep teori himpunan, ada tiga cara dalam penulisan himpunan antara lain:

1. Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung

kurawal.

Contoh :

• A = { a, b, c, x, k } artinya A merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah a, b, c, x, dan k.
• B = {Niken, Aisya, Aji} artinya B merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah Niken, Aisya dan Aji.
• C adalah himpunan semua bilangan x yang memenuhi x² – 3x – 4 = 0 Jadi C = {-1, 4}

2. Dengan cara menyebut sifat-sifat yang dimiliki setiap anggotanya.

Contoh :

• D = himpunan bilangan riil.
• E = himpunan orang-orang asing.

3. Dengan menyatakan syarat keanggotaannya.

Contoh :

• F = {x / x adalah bilangan riil}
• G = {x / x adalah orang asing}

[GAMES] Frogs Logic

Klik Play untuk mencoba bermain.

Petunjuk : Sobat disuruh untuk memindahkan kodok hijau menjadi disebelah kiri dan kodok biru menjadi disebelah kanan, dengan catatan si kodok hanya bisa melompati 1 kodok yang lain alias tidak bisa melompati 2 kodok sekaligus.

 click to fullscreen mode 

[GAMES] Cannibals Missioneries

Dalam game ini diceritakan tiga orang biksu dan tiga siluman kanibal yang ingin meyeberang sungai, tantanganya adalah dalam game ini hanya disediakan satu perahu untuk menyeberang jika jumlah siluman kanibal lebih banyak dari biksu maka siluman tersebut akan memakan biksu.

Klik Play untuk mencoba bermain.

Petunjuk : Ada 3 orang pendeta dan 3 kanibal yang ingin menyeberang sungai bersama, nah sobat harus harus bisa menyeberangkan 3 pendeta dan 3 kanibal keseberang (samping kiri) dengan jumlah pendeta di satu sisi harus lebih banyak atau sama dengan jumlah kanibal, jika tidak maka kanibal akan memakannya. mereka naik perahu yang hanya dapat menampung 2 orang.
 

 click to fullscreen mode